Programación Lineal y la Toma de Decisiones

 Este es mi primer artículo de una serie de ellos donde expondré los conocimientos adquiridos tanto en mi experiencia profesional como académica, en esta oportunidad tocare el tema de la toma de decisiones, algo sumamente importante en el actual mundo empresarial, donde tomar la decisión correcta de manera eficiente, puede marcar la diferencia entre mantenerte o desaparecer. 

Primero que nada, le daremos un enfoque netamente cuantitativo a la toma de decisión, aunque es importante tener claro que no debemos dejar a un lado el componente cualitativo, ya que, en determinadas ocasiones una decisión puede ser financieramente negativa, sin embargo, estratégica y que en el largo plazo pueda compensar el impacto negativo producido en el corto plazo. Tomar una decisión permite solucionar un determinado problema, que no es más que llevar el estado actual de una situación a un estado deseado, llevando a cabo una serie de pasos, el cual podemos definir con el siguiente diagrama.

Podemos fijarnos que el quinto paso ya estamos realizando la toma de decisión, pero ¿Cómo lo hacemos? ¿Cómo sabemos si la alternativa que elegimos fue la correcta?, pues bien, aquí introduciremos un pequeño y fácil ejemplo de como el análisis cuantitativo puede ayudarnos. Pero para estos es importante entender el siguiente diagrama para poder construir nuestro modelo matemático.

Como podemos observar el modelo tienes dos entradas, una que podemos controlar (variables endógenas o de decisión) y otra que no (variables exógenas), y tenemos una salida o resultado proyectado.

Su pongamos que la empresa “CERES” produce y vende X unidades de un determinado producto cada semana con un beneficio de 15 euros por unidad, sin embargo, para producir cada unidad se requiere 10 horas (variable exógena) y solo se dispone de 50 horas semanales. El problema al cual no enfrentamos en este ejemplo es determinar ¿cuántas unidades (variable endógena) debemos producir para maximizar el beneficio?  La expresión matemática que define la cantidad que se desea maximizar o minimizar se llama función objetivo, y la expresamos de la siguiente forma:

Maximizar       15X          Función objetivo

Sujeto a        10X ≤ 50     Restricciones

                         X ≥ 0

      Con un beneficio por unidades de 15 euros, la función objetivo a maximizar es 15X (donde x son las unidades a producir), dada las siguientes restricciones:

1.  El tiempo necesario para producir una unidad es de diez (10) horas y del cual solo disponemos de 50 horas semanales 
2.  Es imposible producir un numero negativo de unidades (X ≥ 0).

    La solución a este sencillo ejemplo es que debemos producir 5 unidades para poder maximizar en beneficio el cual sería de 75 euros. Ahora pasemos a un ejemplo un poco más complicado. 

•   Supongamos que una empresa fabrica dos tipos de teléfonos móviles, uno de gama alta y otro de gama baja y dispone de 480 unidades de materia prima A y 600 unidades de materia prima B. Para fabricar el móvil de gama alta requiere 2 unidades de A y 2 unidades de B y para fabricar el de gama baja necesita 1 unidad de A y 3 unidad de B.
• El beneficio obtenido por cada unidad vendida del móvil de gama alta es de 150 euros, mientras que el de gama baja es de 100 euros. 
•  La pregunta a la que nos enfrentamos es ¿cuántas unidades de cada móvil debemos fabricar para maximizar nuestro beneficio?, quizás muchos pensarán que obviamente debemos fabricar solo el móvil de gama alta ya que es la que representanta el mayor beneficio, sin embargo, echemos números.

 Primero definiremos nuestras variables de decisión o endógenas:

X= número de móviles de gama alta a fabricar.

Y= número de móviles de gama baja a fabricar.

Luego nuestra función objetivo.

f(X,Y)= 150x + 100y (maximizar beneficio)

Posteriormente definimos las restricciones a la que nos enfrentamos (una tabla nos ayuda a ver mejor las restricciones)

·         2x + y ≤ 480

·         2x + 3y ≤ 600

Como no es posible producir unidades negativas, incluiremos la restricción x ≥ 0 e y ≥ 0

A continuación, graficamos

Calculamos el valor el valor de la función objetivo, sustituyendo el valor de los vértices de nuestra gráfica.

-          f(x,y) = 150x + 100y

-          f(0,200) = 150(0) + 100(200) = 20.000

-          f(240,0) = 150(240) + 100(0) = 36.000

-          f(210,60) = 150(210) + 100(60) = 37.500   Máximo

     La solución óptima es fabricar 210 unidades de los móviles de gama alta y 60 de la gama baja. Es importantes mencionar que el área de color gris es la región factible, es decir, donde se pueden producir los móviles respetando las restricciones.

     En conclusión, con estos sencillos ejemplos podemos entender que el uso de métodos cuantitativos nos ayuda a la hora de tomar una decisión. Es importante resaltar que el gerente encargado debe integrar la solución cuantitativa con consideraciones cualitativas para tomar la mejor decisión posible. Adicionalmente es muy importante indicar que el éxito del modelo dependerá de la precisión de los objetivos y restricciones de la ecuaciones que componen el modelo.